GEUP 6 - Aplicaciones y actividades educativas

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Artículos Geometría y análisis
Trigonometría y geometría analítica Determinación de elementos y construcciones básicas
Polígonos Circunferencia y cónicas
Lugares geométricos Ejercicios y problemas varios

Algunas actividades con GEUP

En este trabajo se desarrollan algunas actividades en las que se utiliza la geometría para ayudar a la comprensión del lenguaje gráfico y el algebraico. Durante el desarrollo de estas actividades en el aula, se intenta fomentar el interés por la observación, la formulación de conjeturas, la experimentación y la comprobación. El uso de GEUP ha hecho posible que se pudiera experimentar fácilmente y que, en consecuencia, se pudiera avanzar en las investigaciones.

Artículo     Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Descubriendo Geometría con GEUP

Se intenta señalar la importancia de la geometría y mostrar cómo puede ser de gran utilidad el uso de un programa de geometría interactivo, GEUP, como herramienta que facilita al máximo la posibilidad de visualización y experimentación, factores fundamentales en el estudio y en la investigación de las matemáticas.

Artículo     Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Cuadratura de polígonos

Intentamos mostrar una forma de resolver en el aula el problema geométrico “Cuadratura de polígonos”. Encontraremos la posibilidad de establecer conexiones con las funciones y el álgebra. El uso de un programa de geometría interactivo facilita el dibujo, la visualización y la comprensión.

Artículo     Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Cuadrado equivalente a un pentágono

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

(a+b) (a-b) = diferencia de cuadrados

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Desde la cuadratura de polígonos a ecuaciones de segundo grado

El proceso seguido para el estudio en el aula de la variación del perímetro de los rectángulos de igual área y la construcción geométrica de éstos nos irá conduciendo hacia la resolución geométrica de ecuaciones de segundo grado. El uso de un programa de geometría interactivo nos ayudará a la construcción de las figuras, a la visualización y a que se vayan generando nuevas ideas.

Artículo     Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Variación del semiperímetro de los rectángulos de igual área

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Dado un cuadrado, encontrar las dimensiones de rectángulos equivalentes a él.

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Ecuaciones x^2 - s x + p = 0 y x^2 + s x + p = 0

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Ecuaciones x^2 - d x - p = 0 y x^2 + d x - p = 0

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Rectángulos equivalentes a un círculo

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Variación de las áreas de polígonos regulares de igual perímetro en función del número de lados

Introducción     Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Variación del perímetro de polígonos regulares de igual área en función del número de lados

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Variación de las áreas de triángulos de igual perímetro

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Variación de las áreas de cuadriláteros de igual perímetro

Construcción
Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Comentario a la resolución de un problema de Geometría

Dadas dos rectas paralelas, trazar por un punto dado una secante tal, que la parte comprendida por dichas paralelas sea igual a una magnitud determinada, k.

Artículo     Construcción
Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dadas dos rectas, trazar por un punto dado perteneciente a una de ellas, una secante tal, que la parte comprendida por dichas rectas sea igual a una magnitud dada, k.

Construcción
Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dadas dos rectas, trazar por un punto dado una secante tal, que la parte comprendida por dichas rectas sea igual a una magnitud dada, m.

Construcción
Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dadas dos rectas, trazar por un punto dado una secante tal, que la parte comprendida por dichas rectas sea igual a una magnitud dada, k. (2ª solución)

Construcción
Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dadas dos rectas y un punto en cada una de ellas, trazar por éstos dos secantes paralelas tales, que la suma de los segmentos interceptados por las rectas sea igual a una magnitud conocida, k

Construcción
Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dadas dos rectas y un punto en cada una de ellas, trazar por éstos dos secantes paralelas tales, que la suma de los segmentos interceptados por las rectas sea igual a una magnitud conocida, k. (2ª solución)

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Resolución y discusión de un problema de Geometría

Sobre la circunferencia de centro O (9,00;3,50) y radio r = 3,20 cm, hallar un punto cuya suma de distancias a las rectas y = 0 e y = 1,2 x sea mínima.

Artículo     Construcción
Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Sobre la circunferencia de centro O (9,00;3,50) y radio r = 3,20 cm, hallar un punto cuya suma de distancias a las rectas y = 0 e y = 1,2 x sea mínima. (otra solución)

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Sobre una circunferencia dada, hallar un punto cuya suma de distancias a dos rectas concurrentes dadas sea mínima.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Álgebra Geométrica (fórmulas básicas)

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Círculo tangente a círculo interior a otro

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Variación del área de un trapecio rectángulo, cuyo lado oblícuo mide la mitad de la base menor, en función del ángulo que forma el lado oblícuo con la base mayor.

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Cuadrado interior a otro

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Paralelogramo interior a otro

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Rectángulos inscritos en un triángulo

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

El mayor solar rectangular

Con este ejercicio se pretende optimizar la superficie de un rectángulo inscrito en un triángulo y de bases coincidentes.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Rectángulo de área máxima

Se trata de comprobar que la superficie máxima de los rectángulos inscriptibles en un triángulo, según se indica en la figura, es la mitad de la superficie del triángulo.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dadas dos líneas que se cortan en un punto, y dado un punto dentro del ángulo que forman, trazar una linea que pase por el punto dado y que forme, con las líneas dadas, el triángulo de menor área posible.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

El triángulo ABC se ha formado trazando las tangentes a un círculo en los puntos M, N y P. Se pide encontrar la posición del punto P, en el arco MPN, tal que la longitud de BC sea mínima.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

La parcela triangular ABC se ha formado trazando las tangentes a un estanque circular en los puntos M,N y P. Se pide encontrar la posición óptima del punto P, en el arco MPN, de forma tal que la parcela tenga la mayor superfice posible.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Resulta de mucha utilidad en los comienzos de la enseñanza de la geometría analítica de la recta en el plano, a partir de tres puntos con coordenadas enteras, ir observando las variaciones de diferentes valores significativos cuando movemos los puntos empleando la herramienta "definir cuadrícula a unos ejes".

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Resulta de mucha utilidad en los comienzos de la enseñanza de la geometría analítica de la recta en el plano, a partir de tres puntos , ir observando las variaciones de diferentes valores y ecuaciones significativos cuando modificamos las coordenadas de los citados puntos.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

(Fórmulas de adición): sen ( A + B ) = sen A cos B + cos A sen B

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Analítica triángulo

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Determínese en la figura los valores de x = NP e y = MQ, sabiendo que el RADIO = 2 y MO = 5. Los puntos T y P son puntos de tangencia.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

II1. Dados dos puntos situados a distinto lado de una recta dada, hallar un punto de ésta, de manera que la diferencia de las distancias de él a los dos dados sea la mayor posible.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

III1. Se dan dos rectas r y t y un punto P. Trazar por P una recta tal, que forme con r y t dos ángulos correspondientes, uno doble del otro

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dado el triángulo ABC, determinar el segmento FG, paralelo a AB, tal que la suma de FD y GE, paralelos a los lados, sea igual a FG.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dado el triángulo ABC, determinar el segmento FG, paralelo a AB, tal que la suma de FD y GE, paralelos a los lados, sea igual a FG. (otra solución)

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Cuadrado equivalente a un cuadrilátero

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Triángulo un séptimo

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Construcción triángulo 3,4,5

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Hexágono inscrito en otro

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Encontrar un punto en la base de un triángulo de forma que si desde él se trazan dos líneas que terminan en los lados, una perpendicular a la base y la otra al lado de la izquierda, sean iguales.

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

En un triángulo dado, trazar una línea desde un punto de un lado a un punto en el otro lado que sea perpendicular a uno de esos lados e igual a la suma de los segmentos de dichos lados que resultan entre la linea y la base.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

En un triángulo dado cuya base se divide en un punto dado, inscribir un triángulo que tenga sus ángulos iguales a ángulos dados y que tenga un vértice en el punto dado.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dado un triángulo ABC, encontrar un punto P en el lado AC tal que PC = PP´ + CC´ siendo P´ el pié de la perpendicular de P a AB y CC´ la altura del triángulo a AB.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Desde un punto dado, en un lado de un triángulo dado, trazar una línea que termine en el lado opuesto de tal manera que si desde sus extremos se trazan líneas perpendiculares a la base, la suma de sus longitudes sea igual a la longitud de la primera.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

En un triángulo dado construir tres cuadrados cuyas bases estén en los lados del triángulo y cuyos lados opuestos formen un triángulo.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

En un triángulo dado situar un hexágono que tenga sus caras opuestas iguales y paralelas, y que tres de ellas estén dispuestas a lo largo de las caras del triángulo de tal forma que sus diagonales se corten en un punto dado

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Construir un triángulo dados sus puntos medios D, E y F.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Construir un triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa a y la suma de los catetos, b+c.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

La suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo rectángulo es igual a la suma de los catetos.

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Dado el cuadrado ABCD de lado a. Hallar el radio de la circunferencia que pasa por el punto medio del lado AB, el centro del cuadrado y el vértice C.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Desde un punto A dado trazar dos lineas, una hasta el centro O de un círculo dado y la otra hasta que corte al círculo en un segmento BC tal que el ángulo BOC sea igual al que tienen entre sí ambas lineas.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Desde un punto A dado trazar dos lineas, una hasta el centro O de un círculo dado y la otra hasta que corte al círculo en un segmento BC tal que el ángulo BOC sea igual al que tienen entre sí ambas lineas. (otra solución)

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dado un triángulo y un punto situado en su interior de tal manera que la distancia a uno de los lados sea menor que la distancia a cualquiera de los otros, trazar un círculo, con el punto dado como centro, de forma que los segmentos formados por los puntos de intersección con cada lado sean iguales a los lados de un triángulo rectángulo.

Construcción
Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dado un triángulo y un punto situado en su interior de tal manera que la distancia a uno de los lados sea menor que la distancia a cualquiera de los otros, trazar un círculo, con el punto dado como centro, de forma que los segmentos formados por los puntos de intersección con cada lado sean iguales a los lados de un triángulo rectángulo. (Solución gráfica)

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

En el lado de un ángulo recto con el vértice en el punto O se toman dos puntos A y B. Construir la circunferencia que pasando por A y B sea tangente al otro lado del ángulo.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

En el lado de un ángulo no recto con vértice en el punto O se toman dos puntos A y B. Construir la circunferencia que pasando por A y B sea tangente al otro lado del ángulo. (Otra solución)

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Cuadratriz de Hipías

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Hallar el lugar geométrico de las tangentes trazadas, desde los puntos de un segmento dado, a una circunferencia dada.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

I1. Hallar el lugar geométrico de los puntos, para los cuales la suma de las distancias a dos rectas dadas "a" y "b" ,que se cortan , sea igual a una longitud dada " l " .

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

A1. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas trazadas por un punto P dado a una circunferencia dada de centro O.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

A2. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos puntos dados están en una relación dada.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

A2. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos puntos dados están en una relación dada (otra solución).

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

A3. En una circunferencia se inscriben triángulos ABC, que tienen como lado común AB y en esos triángulos se inscriben circunferencias. Hallar el lugar geométrico de los centros de estas últimas.

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Espiral de rectángulos áureos

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Fractal triangular

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Lúnulas en un cuadrado

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

1ª Lúnula de Hipócrates

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Probar que los lados del triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo acutángulo dado forman, en cada uno de sus vértices, ángulos iguales con los lados del citado triángulo dado.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

La mejor oferta

Se trata de optimizar una función lineal con las restricciones que impone el enunciado.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Inscribir un cuadrado en un paralelogramo dado.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Encontrar un punto en la base de un triángulo dado de forma que si desde él se trazan perpendiculares a los otros dos lados, la linea que una sus extremos sea paralela a la base.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

El teorema de Ptolomeo dice: Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia: el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Rosetón de cinco puntas

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Carmen Galván Fernández (carmen@geup.net)

Dado un triángulo acutángulo ABC, encontrar un punto cuya suma de distancias a los vértices sea mínima.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Encontrar un punto en la base de un triángulo de forma que si desde él se trazan dos lineas que terminan en sus lados, una perpendicular a la base y la otra al lado de la izquierda, sean iguales.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Encontrar un punto en la base de un triángulo de forma que si desde él se trazan dos lineas que terminan en sus lados, una perpendicular a la base y la otra al lado de la izquierda, sean iguales. (otra solución)

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

En un triángulo dado, trazar una linea paralela a la base de tal forma que si se trazan desde sus extremos lineas paralelas a los lados hasta que corten a la base, sumadas miden el doble que la linea inscrita.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

En un triángulo dado, trazar una linea paralela a la base de tal forma que si se trazan desde sus extremos lineas paralelas a los lados hasta que corten a la base, sumadas miden el doble que la linea inscrita. (otra solución)

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

Dadas dos lineas que se cortan en un punto, y dado un punto que se encuentra dentro del ángulo que forman: trazar, desde el punto dado, dos lineas, perpendiculares entre sí y que formen con las lineas dadas y con la linea que une su intersección con el punto dado, dos triángulos de igual área.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)

La parcela triangular ABC se ha formado trazando las tangentes a un estanque circular en los puntos M,N y P. Se pide encontrar la posición óptima del punto P, en el arco MPN, de forma tal que el cercado de la parcela se haga con la menor cantidad de alambre.

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Ramón Alvarez Braun (rab@geup.net)